やっと見つかりました!

以前から何度か書いていた、広島大学の数学の問題(教育学部教科教育学科後期日程)の問題が、ようやく見つかりました。問題で聞かれている部分は有名で、かつ私もはっきりと覚えているものではあったのですが、その問題文の内容がどうにも見つからなかったのです。それがようやく見つかったのですね。

この問題は「鳩ノ巣公理」と呼ばれる内容です。このテーマを扱った問題は、頻繁ではありませんが最近の入試問題で少しずつ見られるようになってきました。専門的な数学では、必要不可欠とも言える公理ではあるのですが、高校の数学と融合させるのはそれほど扱われてきたわけではありません。それだけに、鳩ノ巣公理をきちんと書き表している、この過去問の問題文が気になっていたのですね。

ということで、こちらの方にもその文章を残しておこうと思います。

次の文章は,ある条件を満たすものが存在することを証明する際に,よく使われる「鳩ノ巣原理」(または抽出し論法とも言う)を説明したものである:
m個のものが,n個の箱にどのように分配されても,m>nであれば,2個以上のものが入っている箱が少なくとも1つは存在する。このことを鳩ノ巣原理という。例えば,3つの整数が与えられたとき,このうちの少なくとも2つはともに偶数であるか,又はともに奇数である。なぜならば,3つの整数を偶数であるものと奇数であるものとの2組に分けると,鳩ノ巣原理(m=3,n=2)により,偶数の組または奇数の組に2つ以上の整数が入っているからである。この原理を用いて,次の命題①,②が成り立つことを証明せよ。ただし,証明はこの原理をどのように使ったかが分かるようにせよ。
(1) 1辺の長さが2の正三角形の内部に,任意に5個の点を取ったとき,そのうちの2点で,距離が1より小さいものが少なくとも1組存在する。
(2) 座標空間で,その座標がすべて整数であるような点を格子点という。座標空間に9個の格子点が与えられたとき,そのうちの2点で,中点が又格子点であるものが少なくとも1組存在する。

数学の問題とは思えないくらいの長文ですよね。以前の広島大学の教育学部後期の数学は、このような問題が恒例となっていました。確かこの翌年くらいに、「サークルのメンバーと、サークルのつながり」という問題が出たと思います。これが実は、公理論に則った幾何学の背景を持つものなのですね。この問題も非常に気になるのですが、こちらは問題部分すら、現在確認出来ていません。※上記の問題は、問題部分だけはいろんな書籍に掲載されています。

またこのような形式でどれくらいの期間、どんな問題が出題されていたのか、これも非常に気になるところです。私自身が受験生だった頃、「非常に先進的な問題を出すなあ」と教育学部の問題を羨ましく思っていたものです。私の行った理学部は、非常にオーソドックスな出題がされていますからね。

ということで、これからも指導のためにも、また個人的な趣味の範囲でも、いろんな問題を見ていきたいと思います。

※もしも著作権の問題が生じるようであればご連絡下さい。すぐに対処したいと思います。

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