「腑に落ちた」計算

正直に書きますが、今日、高専に通っている生徒から受けた質問にすぐに答えられませんでした。やや複雑な関数の不定積分を求める問題だったのですが、咄嗟に思いついた置換で式を整理することが出来なかったのです。

『ごめん。恐らくこの置換でどうにかなると思うけど、もしかしたらうまくいかないかもしれない。だからこれは後で計算しておくから、今はテキストの解答で照らし合わせて』とその生徒に謝罪し、その後で計算し直しました。

落ち着いて計算し直すと、最初に思いついた置換でどうにか整理することができ、最終的にはその結果も求めることが出来たのです。しかし今度は、その求めた形が事前に見ていたテキストの解答と違っている(汗)

やや複雑な、対数を使った形なので、もしかしたら自分の結果を変形していったらテキストの解答と一致するかもしれない・・・のですが、これまたすぐにその形になりそうもありません。ちょっと計算してみたら、質問を受けた時に出てきた中身にぶつかり、そこからどうにも進まないのです。

そこで何かのヒントになればと思い、Wolfram Alphaで計算してみたのです。そうしたらびっくりするくらい、シンプルな結果が出てきたのです。

(参考)問題の形も含め、その計算結果へのリンク

この結果を見たら、元の関数の形も「単なる分数の和」でしか無いことが分かります。だとしたら、途中でどのような計算をすればいいのかが分かります。またその計算を考えると、自然と、自分が出した結果とテキストの解答の結果が一致することがわかったのです。

いやあ、久しぶりに単なる計算問題で「腑に落ちた」と実感しましたね。そしてその実感と併せて、こういうことに気づかなかった自分に大きく反省したりして。。。最近は中学~高校の数学ばかり見ていたので、逆双曲線関数を前提にした置換を全く意識していませんでした。この置換の手法自体は高校数学でも出てくるものの、その背景を忘れてしまっていたのでこういう失態に繋がったのだろうと思います。

改めて、ちゃんと”一歩先の”勉強を続けておかないといけないと感じました。

・・・とは言え、こういう反省文を書くことが目的ではありません。

勉強をしていて「内容が分かる」ということは、目の前の問題の答えを知ることではありません。この問題でも、解答自体はテキストに書いてあったのですから。しかしそれが自分で求められるようにならないと、それが分かったとは言えないはずです(求められたとしても、必ずしも理解できたとは言い切れない・・・言わば”必要条件”です)。

自分の解法はどうだったのか、そして他の考え方とはどう違うのか。このような比較をしていくと、それまで見えなかった広がりが掴めてくるのです。そういう積み重ねが、深い”理解”を作っていくのです。

生徒たちを見ていると、テキスト等の解答が唯一無二のもののように受け止めていることがあります。確かに自分の理解が不足している時には、それらを参考にすることは決して間違いではありません。けれども本当に唯一無二なのかということに目を向けないと、それから先にはなかなか進めないのです。

自分で考え、その真偽を明らかにしていく。・・・こうやって一つ一つ、理解を積み重ねていって下さい。

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