作図問題・・・どうでしたか?

今回の問題のメインは、正五角形の作図。
なかなか作図問題は馴染みが薄いですよね。
ただし高校数学を教える人は、これから必ず意識しておかないといけません。
なぜなら昨日の記事にも書きましたが、作図問題は立派に数学Aの範囲に含まれているからです!

なんと、今回の問題も新課程の数学IAの問題集から選ばせて頂きましたから。

それでは解答に入りたいと思います!

今回の問題の解答

(1)対角線の長さについて

こちらの問題は、以前から高校入試の定番でした。中学生に対して、相似を考える二次方程式の問題として、よく出題されるものです。そこでこの解答に関しては、略解のみ紹介するものとします。

正五角形ABCDEにおいて、対角線AC、AD、CEを引き、ADとCEの交点をFとします。
この時∠CAD=36°、これと円周角の定理により、
△ACFはAF=CFの二等辺三角形、△CDFはCD=CFの二等辺三角形となります。
このことから△ACD∽△CDFとなるので、AC:CD=CD:DFを考えることで
求める対角線の長さは、(1+√5)/2×a

ここからが本番の(2)の作図問題です

ここからは、一つ一つの過程を図示していきます。※各段階で作図したものを赤で表しています

① 長さaの線分CDを考えます。

② 線分CDの垂直二等分線を作図します。

③ 垂直二等分線上に、線分CDから距離がaである点Pを作図します。

※図では省略していますが、コンパスで長さを測ります。

④ 直線CPを考え、Pから延長した先に距離a/2である点Qを作図します。

※これも同様に、線分CDの中点を使ってコンパスで長さを測ります。

⑤ ②の垂直二等分線上に、CQ=CAとなるような点Aを作図します。

⑥ 三点A、C、Dから半径aの円を書き、△ACDの外側で交わっている点をB、Eとします。

こうやって得られた点A~Eまでを結ぶと、正五角形となるのです。

前半の問題と作図との関係

前半の問題にて、正五角形の対角線の長さを求めました。
ここで作図の手順の④を見て下さい。点Qを求めた時に線分CQの長さはどうなるでしょう。
CQ=CP+PQであり、PQは作図のやり方よりa/2ですね。
またCPは、三平方の定理からCP=√5/2×aということが分かります。
するとCQ=(1+√5)/2×aとなるので、前半で求めた対角線の長さと一致するのです。

作図したいのは正五角形。つまり二点C、Dから等距離にあり、かつその距離が(1+√5)/2×aであるような点が、その頂点の一つになるのです。

ここまで来れば、後は点Aから正五角形の一辺の長さを測っていくだけなので、容易に作図を完成させられるのです。

つまり作図の問題は、むやみに定規とコンパスを使えばいいというものではありません。
正五角形を作図するには、まず何が分からないといけないのか。
またそれを、具体的にどのように作図するのか。
そういうところが整理されて、ようやく難しいものも作図できるのです。

冒頭でも書きましたが、これが高校の数学Aの内容なのですね。

ここ数回で、センター試験の範囲、新課程の高校数学の分野などをまとめてきました。
しかし概念は分かっていても、実際にどのような問題を扱わないといけないのか・・・それを把握するのは難しい。
そこで今回の問題も、前回までの記事と併せて
「こういうことをこれからは教えないといけないのだ」と認識してもらえるとありがたいです。

これら一連の記事が、今後の教科指導のお役に立てたら、これほどうれしいことはありません。
どうぞこれからも、よろしくお願いします。

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