念の為に”傍接円”の確認を!

センター試験の数学IAにおいて、第3問に三角比を主体にした図形問題が出題されます。
それに関して必要な知識であったり、黄金比からの関連について、
過去のブログ記事で書いています。→ 知識のまとめ黄金比の関連

さて同様のこととして、傍接円についても簡単に確認しておきましょう。
傍接円・・・と言っても、あまり馴染みが無い言葉では無いかと思います。
しかし言葉こそ出てこないものの、実際のセンター試験においても、
その円に関する性質が聞かれることがあったのです(2011年追試)

ではその図形を確認してみましょう!

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と、頂点B、Cの外角の二等分線とは一点で交わる。
この点を中心とすると、適切な半径をとることで辺BCと、辺AB・ACの延長線とに接する円を作ることができる。
これを三角形ABCの傍接円(の一つ)といい、その中心を傍心と呼ぶ。
傍接円

3つの直線と接する円なので、これを言い換えると「辺AB・BC・CAと等距離にある点が中心となる」と言うことが
言えますが、この円が三角形の内部に存在する時が「内接円」。
よって外部に存在するものとして考えたものが傍接円になるわけです。

さて傍接円に関して、いくつかの性質を述べておきます。
これを確認しておくと、咄嗟にいろんな辺の長さや角の大きさを問われても、
安心して解答することができますよ!

以下、上図の記号を元に説明したいと思います。
詳しくは”辺ABの延長、辺ACの延長と傍接円との接点をそれぞれD、Eとし、また辺BCとの接点をFとします。
また傍接円の中心をO”としています。

① △ODB≡△OFB また △OEC≡△OFC
② △ODA≡△OEA
③ ①より、BD=BF また CE=CF
④ ②より、AD=AE
⑤ ④で考えたADとAEに関して、”その大きさはAB+BC+CAを2で割ったもの”

おおよそこれくらいの事を理解しておけば、かなり手が出るのでは無いかと思います。

上にまとめた内容のうち、①~④は比較的分かりやすいものかと思いますが、
⑤は非常に気づきにくい性質ですよね!
この性質を求めるには、この傍接円だけでなく三角形ABCの内接円も共に考えたほうが楽になります。
いい練習になると思いますので、これ以降はぜひ考えてみて下さい!

なお傍接円は、どの辺に接して、それに合わせてどの辺を延長するのか・・・と考えると、
一つの三角形に対して3つの円が存在します。
おそらく3つ全てをまとめて考えることは少ないと思いますので、
上のような一つの傍接円で考えれば、十分かと思います。

私もどちらかと言うと、図形は苦手な人間です。
だからこのような図形の性質を、その場で素早く導くことは非常に難しいものです。
そこで何らかの形で「見たことがある」という状態にしておけば、
問題で出てきた時も応用がききますからね。
ぜひ有効に活用されてください!

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